Diketahui suatu barisan R(n) yg memenuhi hubungan R(0) = 7, R(1) = (-4), R(2)=8, dan
R(n) = 2R(n-1) + 5R(n-2) - 6R(n-3) untuk n lebih besar atau sama dengan 3
Tunjukkan R(n) = 5(1)^n - 3^n + 3(-2)^n untuk semua n € Z dan n lebih besar sama dengan 0
jawab :
a₀ = 7, a₁ = -4, a₂ = 8
a_n = 2a(n-1) + 5a(n-2) - 6a(n-3)
dengan memakai teorema recurensi
rⁿ= 2rⁿ⁻¹ + 5rⁿ⁻² - 6ⁿ⁻³
sedemikian hingga
r³ = 2r²+ 5r - 6
r³-2r²-5r+6=0
didapat :
r₁ = 3
r₂ = 1
r₃ = -2
sekarang dengan memakai teorema rumus barisan konstan
a_n = α₁r₁ⁿ + α₂r₂ⁿ + α₃r₃ⁿ..................❶
tinggal masuk-masukin
7 = α₁(3)°+α₂(1)° +α₃(-2)°
-4 = α₁(3)¹ + α₂(1)¹ + α₃(-2)¹
8 = α₁(3)²+α₂(1)² + α₃(-2)²
untuk memudahkan pengetikan :
misal α₁ = x, α₂ = y , α₃ = z
maka persamaan tadi bisa dtulis dalam bentuk persamaan linear :
x + y + z = 7
3x + y - 2z = -4
9x + y + 4z = 8
lalu dengan menggunakan eliminasi subtitusi ( kalau yang ini gak usah ditulis caranya)
langsung hasilnya saja ya panjang ngetiknya maka diperoleh :
α₁ = -1, α₂ = 5, α₃ = 3
lalu masukin ke persamaan ❶
a_n = (-1)(3)ⁿ+ (5)(1)ⁿ+(3)(-2)ⁿ
a_n = 3(-2)ⁿ-3ⁿ+5
3(-2)ⁿ-3ⁿ+5 = 5(1)ⁿ - 3ⁿ + 3(-2)ⁿ
karena 1ⁿ = 1 maka persamaannya berubah
3(-2)ⁿ-3ⁿ+5 = 5 - 3ⁿ + 3(-2)ⁿ
proved
