Diketahui suatu barisan R(n) yg memenuhi hubungan R(0) = 7, R(1) = (-4), R(2)=8, dan
R(n) = 2R(n-1) + 5R(n-2) - 6R(n-3) untuk n lebih besar atau sama dengan 3
Tunjukkan R(n) = 5(1)^n - 3^n + 3(-2)^n untuk semua n € Z dan n lebih besar sama dengan 0
jawab :
aâ‚€ = 7, aâ‚ = -4, aâ‚‚ = 8
a_n = 2a(n-1) + 5a(n-2) - 6a(n-3)
dengan memakai teorema recurensi
râ¿= 2râ¿â»¹ + 5râ¿â»² - 6â¿â»³
sedemikian hingga
r³ = 2r²+ 5r - 6
r³-2r²-5r+6=0
didapat :
râ‚ = 3
râ‚‚ = 1
r₃ = -2
sekarang dengan memakai teorema rumus barisan konstan
a_n = αâ‚râ‚â¿ + αâ‚‚râ‚‚â¿ + α₃r₃â¿..................â¶
tinggal masuk-masukin
7 = αâ‚(3)°+αâ‚‚(1)° +α₃(-2)°
-4 = αâ‚(3)¹ + αâ‚‚(1)¹ + α₃(-2)¹
8 = αâ‚(3)²+αâ‚‚(1)² + α₃(-2)²
untuk memudahkan pengetikan :
misal αâ‚ = x, αâ‚‚ = y , α₃ = z
maka persamaan tadi bisa dtulis dalam bentuk persamaan linear :
x + y + z = 7
3x + y - 2z = -4
9x + y + 4z = 8
lalu dengan menggunakan eliminasi subtitusi ( kalau yang ini gak usah ditulis caranya)
langsung hasilnya saja ya panjang ngetiknya maka diperoleh :
αâ‚ = -1, αâ‚‚ = 5, α₃ = 3
lalu masukin ke persamaan â¶
a_n = (-1)(3)â¿+ (5)(1)â¿+(3)(-2)â¿
a_n = 3(-2)â¿-3â¿+5
3(-2)â¿-3â¿+5 = 5(1)â¿ - 3â¿ + 3(-2)â¿
karena 1â¿ = 1 maka persamaannya berubah
3(-2)â¿-3â¿+5 = 5 - 3â¿ + 3(-2)â¿
proved
